polinomios

polinomios 

Es una expresión algebraica constituida por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos llamados coeficientes), o bien una sola variable. Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio.

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

 elementos de un polinomio

• los términos.
• Término principal de un polinomio.
• Término independiente.
• Los coeficientes.
• Coeficiente principal de un polinomio.
• Variable del polinomio.
• Grado de la variable.
• Grado del polinomio.

Polinomios de una indeterminada[editar]

Para ${\displaystyle a_{0},\;\ldots ,\;a_{n}}$ constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, entonces un polinomio ${\displaystyle P_{}^{}}$ de grado n en la variable x es un objeto de la forma

${\displaystyle P(x)_{}^{}=}$ ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.}$

Un polinomio ${\displaystyle P(x)\in K[x]}$ no es más que una sucesión matemática finita ${\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n}}$ tal que ${\displaystyle a_{n}\in K}$. También puede considerarse una sucesión infinita ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ entendiendo que a partir de un cierto término ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ podemos considerar ${\displaystyle a_{n}=0}$ para cada ${\displaystyle n\geq n_{0}}$.

Representado como:

${\displaystyle P(x)_{}^{}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de diversas variables[editar]

Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:

(2)${\displaystyle {\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}}$

Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.

Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}$

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

${\displaystyle 5xy,3xz^{2},4xy^{2}z,\dots }$

En detalle el último de ellos ${\displaystyle 4xy_{}^{2}z}$ es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Grado de un polinomio[editar]

Artículo principal: Grado (polinomio)

Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado, y se denota por ${\displaystyle {\text{gr}}(p)}$

ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.

P(x) = 2x³+ 3x + 2, polinomio de grado tres.

P(x) = 4x⁴+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.

P(x) = 2x⁵+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como ${\displaystyle \scriptstyle -\infty }$.

En particular los números son polinomios de grado cero